Cet article décrit la formule du test t pour échantillon unique, deux échantillons indépendants et pour échantillons appariés. La formule du test t est également appelée:
- équation du test t,
- équation du score t,
- formule statistique du test t
- formule pour le test t
Sommaire:
Livre Apparenté
Pratique des Statistiques dans R II - Comparaison de Groupes: Variables NumériquesFormule du test t pour échantillon unique
La formule du test t pour échantillon unique est utilisée pour comparer la moyenne d’un échantillon à une moyenne standard connue. La formule du test t à échantillon unique peut s’écrire comme suit:
\[
t = \frac{m-\mu}{s/\sqrt{n}}
\]
où,
- \(m\) est la moyenne de l’échantillon
- \(n\) est la taille de l’échantillon
- \(s\) est l’écart-type de l’échantillon avec les degrés de liberté \(n-1\)
- \(\mu\) est la moyenne théorique
La p-value, correspondant à la valeur absolue des statistiques du test t (|t|), est calculée pour les degrés de liberté (df): df = n - 1.
Comment interpréter les résultats du test t à échantillon unique ?
Si la p-value est inférieure ou égale au seuil de significativité 0,05, nous pouvons rejeter l’hypothèse nulle et accepter l’hypothèse alternative. En d’autres termes, nous concluons que la moyenne de l’échantillon est significativement différente de la moyenne théorique.
Formule du test t indépendant
La formule du test t indépendant est utilisée pour comparer les moyennes de deux groupes indépendants. Le test t pour échantillons indépendants se présente sous deux formes différentes:
- le test t standard de Student, qui suppose que la variance des deux groupes est égale.
- le test t de Welch, qui est moins restrictif que le test original de Student. Il s’agit du test où vous ne présumez pas que la variance est la même dans les deux groupes, ce qui donne les degrés de liberté fractionnaires suivants.
Dans cet article, vous apprendrez la formule du test T de Student et la formule du test T de Weltch.
Formule du test t de Student
Si les variances des deux groupes sont équivalentes (homoscédasticité), la valeur du test t, comparant les deux échantillons (\(A\) et \(B\)), peut être calculée comme suit.
\[
t = \frac{m_A - m_B}{\sqrt{ \frac{S^2}{n_A} + \frac{S^2}{n_B} }}
\]
où,
- \(m_A\) et \(m_B\) représentent la valeur moyenne des groupes A et B, respectivement.
- \(n_A\) et \(n_B\) représentent les tailles des groupes A et B, respectivement.
- \(S^2\) est un estimateur de la variance mise en commun des deux groupes. Il peut être calculé comme suit :
\[
S^2 = \frac{\sum{(x-m_A)^2}+\sum{(x-m_B)^2}}{n_A+n_B-2}
\]
avec des degrés de liberté (df) : \(df = n_A + n_B - 2\).
Formule du test t de Welch
Si les variances des deux groupes comparés sont différentes (hétéroscédasticité), il est possible d’utiliser le test t de Welch, qui est une adaptation du test t de Student. La statistique t de Welch est calculée comme suit :
\[
t = \frac{m_A - m_B}{\sqrt{ \frac{S_A^2}{n_A} + \frac{S_B^2}{n_B} }}
\]
où, \(S_A\) et \(S_B\) sont les écart-types des deux groupes A et B, respectivement.
Contrairement au t-test classique de Student, la formule du t-test de Welch implique que la variance de chacun des deux groupes (\(S_A^2\) et \(S_B^2\)) comparés. En d’autres termes, il n’utilise pas la variance groupée \(S\).
Le degré de liberté du test t de Welch est estimé comme suit :
\[
df = (\frac{S_A^2}{n_A}+ \frac{S_B^2}{n_B})^2 / (\frac{S_A^4}{n_A^2(n_A-1)} + \frac{S_B^4}{n_B^2(n_B-1)} )
\]
Une p-value peut être calculée pour la valeur absolue correspondante de la statistique t (|t|).
Si la p-value est inférieure ou égale au seuil de significativité 0,05, nous pouvons rejeter l’hypothèse nulle et accepter l’hypothèse alternative. En d’autres termes, nous pouvons conclure que les valeurs moyennes des groupes A et B sont significativement différentes.
Notez que le test t de Welch est considéré comme le plus prudent. Habituellement, les résultats du test t classique de Student et du test t de Welch sont très similaires, à moins que la taille des groupes et les écarts types soient très différents.
Formule du test t apparié
Le test-t apparié est utilisé pour comparer les moyennes de deux groupes d’échantillons apparentés.
La procédure de l’analyse du test t apparié est la suivante:
- Calculer la différence (\(d\)) entre chaque paire de valeur
- Calculer la moyenne (\(m\)) et l’écart-type (\(s\)) de \(d\)
- Comparer la différence moyenne à 0. S’il y a une différence significative entre les deux paires d’échantillons, alors la moyenne de d (\(m\)) devrait être loin de 0.
La valeur statistique du test t apparié peut être calculée à l’aide de la formule suivante:
\[
t = \frac{m}{s/\sqrt{n}}
\]
où,
mest la moyenne des différencesnest la taille de l’échantillon (c.-à-d. la taille de d).sest l’écart-type de d
On peut calculer la p-value correspondant à la valeur absolue de la statistique du t-test (|t|) pour les degrés de liberté (df) : \(df = n - 1\).
Si la p-value est inférieure ou égale à 0,05, on peut conclure que la différence entre les deux échantillons appariés est significativement différente.
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