Tests Statistiques et Hypothèses

Prérequis

Assurez-vous d’avoir installé les paquets R suivants:

• tidyverse pour la manipulation et la visualisation des données
• ggpubr pour créer facilement des graphiques prêts à la publication
• rstatix offre des fonctions R conviviales pour des analyses statistiques faciles à réaliser
• datarium contient les jeux de données requis pour ce chapitre

Commencez par charger les paquets R suivants:

library(tidyverse)
library(ggpubr)
library(rstatix)

Données de démonstration

Nous utiliserons le jeu de données sur l’estime de soi mesuré sur trois points temporels. Les données sont disponibles dans le package datarium.

data("selfesteem", package = "datarium")
head(selfesteem, 3)

## # A tibble: 3 x 4
##      id    t1    t2    t3
##   <int> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1     1  4.01  5.18  7.11
## 2     2  2.56  6.91  6.31
## 3     3  3.24  4.44  9.78

Mesure de la sphéricité

La procédure est la suivante:

1. Calculer les différences entre chaque combinaison de groupes associés
2. Calculer la variance de chaque différence de groupes

Codes R:

# 1. Calculer les différences des groupes
grp.diff <- selfesteem %>%
  transmute(
    `t1-t2` = t1 - t2,
    `t1-t3` = t1 - t3,
    `t2-t3` = t2 - t3
  )
head(grp.diff, 3)

## # A tibble: 3 x 3
##   `t1-t2` `t1-t3` `t2-t3`
##     <dbl>   <dbl>   <dbl>
## 1   -1.18   -3.10  -1.93 
## 2   -4.35   -3.75   0.604
## 3   -1.20   -6.53  -5.33

# 2. Calculer les variances
grp.diff  %>% map(var)

## $`t1-t2`
## [1] 1.3
## 
## $`t1-t3`
## [1] 1.16
## 
## $`t2-t3`
## [1] 3.08

Calcul de l’ANOVA et du test de Mauchly

Le test de sphéricité de Mauchly est automatiquement rapporté par la fonction anova_test() [package rstatix], un wrapper autour de car::Anova() pour faciliter le calcul de l’ANOVA sur mesures répétées.

Arguments clés:

• data: data frame
• dv: (numérique) le nom de la variable dépendante (ou variable-réponse).
• wid: nom de la variable spécifiant l’identificateur de cas/échantillon.
• within: facteur ou variable de groupement intra-sujets

Préparation des données : Rassemblez les colonnes “t1”, “t2” et “t3” en format long. Convertir les variables id et time en factor (ou variables de regroupement).

selfesteem <- selfesteem %>%
  gather(key = "time", value = "score", t1, t2, t3) %>%
  convert_as_factor(id, time)
head(selfesteem, 3)

## # A tibble: 3 x 3
##   id    time  score
##   <fct> <fct> <dbl>
## 1 1     t1     4.01
## 2 2     t1     2.56
## 3 3     t1     3.24

Exécuter le test ANOVA:

res <- anova_test(data = selfesteem, dv = score, wid = id, within = time)
res

## ANOVA Table (type III tests)
## 
## $ANOVA
##   Effect DFn DFd    F        p p<.05   ges
## 1   time   2  18 55.5 2.01e-08     * 0.829
## 
## $`Mauchly's Test for Sphericity`
##   Effect     W     p p<.05
## 1   time 0.551 0.092      
## 
## $`Sphericity Corrections`
##   Effect  GGe      DF[GG]    p[GG] p[GG]<.05   HFe      DF[HF]    p[HF] p[HF]<.05
## 1   time 0.69 1.38, 12.42 2.16e-06         * 0.774 1.55, 13.94 6.03e-07         *

Le résultat est une liste comprenant trois tableaux:

• Résultats de l’ANOVA montrant la p-value et la taille de l’effet dans la colonne ges (generalized eta squared) ; La taille de l’effet est essentiellement le degré de variabilité dû au facteur intra-sujets ignorant l’effet des sujets.
• Test de Sphéricité de Mauchly. Uniquement pour les variables ou les effets avec des niveaux > 2, car la sphéricité s’applique nécessairement aux variables avec seulement 2 groupes. L’hypothèse nulle est que les variances des différences des groupes sont égales. Ainsi, une p-value significative (p <= 0,05) indique que les variances des différences des groupes ne sont pas égales.
• Résultats des corrections de la sphéricité à prendre en compte au cas où nous ne pourrions pas maintenir l’hypothèse de sphéricité. Deux corrections courantes utilisées dans la littérature sont fournies : Greenhouse-Geisser epsilon (GGe) et Huynh-Feldt epsilon (HFe) et leurs p-values correspondantes.

Interprétation des résultats de l’ANOVA

# Afficher le tableau ANOVA
res$ANOVA

##   Effect DFn DFd    F        p p<.05   ges
## 1   time   2  18 55.5 2.01e-08     * 0.829

res$`Sphéricité Corrections`

## NULL

Choix des méthodes de correction de la sphéricité

Des deux méthodes de correction de la sphéricité, la correction de Huynh-Feldt est considérée comme la moins conservatrice (surestimation d’epsilon), tandis que Greenhouse-Geisser est considérée plus conservatrice (sous estimation d’epsilon quand epsilon est proche de 1).

La recommandation générale est d’utiliser la correction Greenhouse-Geisser, en particulier lorsque l’epsilon < 0,75. Dans le cas où epsilon est supérieur à 0,75, certains statisticiens recommandent d’utiliser la correction de Huynh-Feldt (Girden 1992).

Table ANOVA

La fonction R get_anova_table() [rstatix package] peut être utilisé pour extraire et interpréter facilement le tableau ANOVA à partir de la sortie de anova_test(). Il renvoie un tableau ANOVA qui a été automatiquement corrigé pour tenir compte d’un éventuel écart par rapport à l’hypothèse de sphéricité dans un plan expérimental contenant des facteurs à mesures répétées.

Pour l’ANOVA sur mesures répétées, le comportement par défaut de la fonction get_anova_table() est d’appliquer automatiquement la correction de sphéricité de Greenhouse-Geisser uniquement aux facteurs violant l’hypothèse de sphéricité (c’est-à-dire, la p-value du test de Mauchly est significative, p <= 0.05).

Utilisation:

get_anova_table(x, correction = c("auto", "GG", "HF", "none"))

• x: un objet de class anova_test.
• correction: utilisé uniquement dans le test ANOVA sur mesures répétées pour préciser quelle correction de degrés de liberté doit être rapportée pour les facteurs intra-sujets. Les valeurs possibles sont:
  • “GG” : applique la correction de Greenhouse-Geisser à tous les facteurs intra-sujets même si l’hypothèse de sphéricité est respectée (c.-à-d. que le test de Mauchly n’est pas significatif, p > 0,05).
  • “HF” : applique la correction de Hyunh-Feldt à tous les facteurs intra-sujets même si l’hypothèse de sphéricité est respectée,
  • “none” : renvoie le tableau standard ANOVA sans aucune correction et
  • “auto” : applique automatiquement la correction GG aux seuls facteurs intra-sujets violant l’hypothèse de sphéricité (c’est-à-dire que la valeur p du test de Mauchly est significative, p <= 0,05).

Exemples:

Dans notre exemple, la sphéricité peut être supposée selon le test de Mauchly ; ainsi le tableau standard de l’ ANOVA n’est pas modifié avec l’option correction = "auto". Spécifier l’option correction = "GG" appliquera la correction même si l’hypothèse est satisfaite.

# correction = "auto"
get_anova_table(res)

## ANOVA Table (type III tests)
## 
##   Effect DFn DFd    F        p p<.05   ges
## 1   time   2  18 55.5 2.01e-08     * 0.829

# correction = "GG"
get_anova_table(res, correction = "GG")

## ANOVA Table (type III tests)
## 
##   Effect  DFn  DFd    F        p p<.05   ges
## 1   time 1.38 12.4 55.5 2.16e-06     * 0.829

Résumé

Cet article décrit les bases de l’hypothèse de sphéricité. Les codes R sont fournis pour calculer l’ANOVA sur mesures répétées et le test de sphéricité de Mauchly en utilisant la fonction anova_test() [package rstatix]. Nous montrons également comment interpréter les résultats de l’analyse de variance lorsque l’hypothèse de sphéricité est satisfaite ou non. Enfin, nous introduisons la fonction R get_anova_table() [rstatix] pour extraire et interpréter facilement la table ANOVA qui est automatiquement corrigée pour un éventuel écart par rapport à l’hypothèse de sphéricité.