Tests Statistiques et Hypothèses

Distributions non normales

L’asymétrie est une mesure de la symétrie d’une distribution. La valeur peut être positive, négative ou indéfinie. Dans une distribution asymétrique, les mesures de tendance centrale (moyenne, médiane, mode) ne seront pas égales.

(source : https://www.safaribooksonline.com/library/view/clojure-for-data/9781784397180/ch01s13.html)

• Distribution positivement asymétrique (ou asymétrique à droite) : Les valeurs les plus fréquentes sont basses ; la queue est vers les valeurs élevées (sur le côté droit). En général, Mode < Median < Mean.
• Distribution négativement asymétrique (ou asymétrique à gauche), les valeurs les plus fréquentes sont élevées ; la queue est vers les valeurs faibles (sur le côté gauche). En général, Mode > Median > Mean.

La direction de l’asymétrie est donnée par le signe du coefficient d’asymétrie:

• Un zéro signifie aucune asymétrie du tout (distribution normale).
• Une valeur négative signifie que la distribution est négativement asymétrique.
• Une valeur positive signifie que la distribution est positivement asymétrique.

Le coefficient d’asymétrie peut être calculé à l’aide du paquet R moments:

library(moments)
skewness(iris$Sepal.Length, na.rm = TRUE)

## [1] 0.312

Méthodes de transformation

Cette section décrit différentes méthodes de transformation, en fonction du type de violation de la normalité.

Voici quelques transformations heuristiques courantes pour les données non normales:

• racine carrée pour biais modéré:
  • sqrt(x) pour les données asymétriques positives,
  • sqrt(max(x+1) - x) pour les données asymétriques négatives
• log pour une plus grande asymétrie:
  • log10(x) pour les données asymétriques positives,
  • log10(max(x+1) - x) pour les données asymétriques négatives
• inverse pour une asymétrie sévère:
  • 1/x pour les données asymétriques positives
  • 1/(max(x+1) - x) pour les données asymétriques négatives
• Linéarité et hétéroscédasticité:
  • essayez d’abord la transformation log dans une situation où la variable dépendante commence à augmenter plus rapidement avec l’augmentation des valeurs des variables indépendantes
  • Si vos données font le contraire - les valeurs des variables dépendantes diminuent plus rapidement avec l’augmentation des valeurs des variables indépendantes - vous pouvez d’abord envisager une transformation carrée.

Exemples de transformation de données asymétriques

library(ggpubr)
library(moments)

data("USJudgeRatings")
df <- USJudgeRatings
head(df)

##                CONT INTG DMNR DILG CFMG DECI PREP FAMI ORAL WRIT PHYS RTEN
## AARONSON,L.H.   5.7  7.9  7.7  7.3  7.1  7.4  7.1  7.1  7.1  7.0  8.3  7.8
## ALEXANDER,J.M.  6.8  8.9  8.8  8.5  7.8  8.1  8.0  8.0  7.8  7.9  8.5  8.7
## ARMENTANO,A.J.  7.2  8.1  7.8  7.8  7.5  7.6  7.5  7.5  7.3  7.4  7.9  7.8
## BERDON,R.I.     6.8  8.8  8.5  8.8  8.3  8.5  8.7  8.7  8.4  8.5  8.8  8.7
## BRACKEN,J.J.    7.3  6.4  4.3  6.5  6.0  6.2  5.7  5.7  5.1  5.3  5.5  4.8
## BURNS,E.B.      6.2  8.8  8.7  8.5  7.9  8.0  8.1  8.0  8.0  8.0  8.6  8.6

# Distribution de la variable CONT
ggdensity(df, x = "CONT", fill = "lightgray", title = "CONT") +
  scale_x_continuous(limits = c(3, 12)) +
  stat_overlay_normal_density(color = "red", linetype = "dashed")

# Distribution de la variable PHYS
ggdensity(df, x = "PHYS", fill = "lightgray", title = "PHYS") +
  scale_x_continuous(limits = c(3, 12)) +
  stat_overlay_normal_density(color = "red", linetype = "dashed")

skewness(df$CONT, na.rm = TRUE)

## [1] 1.09

skewness(df$PHYS, na.rm = TRUE)

## [1] -1.56

df$CONT <- log10(df$CONT)
df$PHYS <- log10(max(df$CONT+1) - df$CONT)

# Distribution de la variable CONT
ggdensity(df, x = "CONT", fill = "lightgray", title = "CONT") +
  stat_overlay_normal_density(color = "red", linetype = "dashed")

# Distribution de la variable PHYS
ggdensity(df, x = "PHYS", fill = "lightgray", title = "PHYS") +
  stat_overlay_normal_density(color = "red", linetype = "dashed")

skewness(df$CONT, na.rm = TRUE)

## [1] 0.656

skewness(df$PHYS, na.rm = TRUE)

## [1] -0.818

Résumé et discussion

Cet article décrit comment transformer les données pour la normalité, une hypothèse requise pour les tests paramétriques tels que les tests t et les tests ANOVA.

Dans le cas où l’hypothèse de normalité n’est pas respectée, vous pourriez envisager d’exécuter les tests statistiques (test t ou ANOVA) sur les données transformées et non transformées pour voir s’il y a des différences significatives.

Si les deux tests vous amènent aux mêmes conclusions, vous pourriez choisir de ne pas transformer la variable-réponse et de continuer avec les résultats des tests sur les données originales.

Notez que la transformation rend l’interprétation de l’analyse beaucoup plus difficile. Par exemple, si vous exécutez un test t pour comparer la moyenne de deux groupes après avoir transformé les données, vous ne pouvez pas simplement dire qu’il y a une différence dans les moyennes des deux groupes. Maintenant, vous avez l’étape supplémentaire d’interpréter le fait que la différence est basée sur la transformation logarithmique. Pour cette raison, les transformations sont généralement évitées à moins que cela ne soit nécessaire pour que l’analyse soit valide.

Dans le cas d’analyses comme la famille de tests F ou t (c.-à-d. les tests t d’échantillons indépendants et dépendants, ANOVA, MANOVA et les régressions), les violations de la normalité ne constituent habituellement pas une peine de mort pour la validité. Avec des échantillons suffisamment grands (> 30 ou 40), il y a de bonnes chances que les données soient distribuées normalement ; ou au moins assez près de la distribution normale pour que vous puissiez vous en tirer avec des tests paramétriques (théorème central limite).